自然常数 E 在 Defi 中的应用

为了挖提囤的时候让资金增长最快，defi 菜农都知道 (1 + 1/n)^n 有极值 e 当 n 无穷大时；

易得 (1 + apr/n)^n 有极值 e^apr 当 n 无穷大。

(1 + 1/n - c)^n 如何收敛呢？

最具一般性的 (1 + apr/n - c)^n 又如何收敛呢？

低 gas 时

假设当前本金为 $52902.654，claim + transfer 的 gas 为 $3，c = 3/52902.654:
当 apr = 0.84 （APE 单币 stake）时：

可以看到最大值 2.295918 出现在 n=78 时，在 n=40 左右就收敛的比较好了，提示 9 天收一次菜。

当 apr = 1.56（BAYC + APE stake）时：

最大值 4.681098 出现在 n=145 时，在 n=75 左右就收敛的比较好了，提示 4 天收一次菜。

中 gas 时

apr = 0.84 ，claim + transfer 的 gas 为 $30，c = 30/52902.654：

最大值 2.253492 出现在 n=24 时。

apr = 1.56 ，claim + transfer 的 gas 为 $30，c = 30/52902.654：

最大值 4.521749 出现在 n=45 时。

高 gas 时

apr = 0.84 ，claim + transfer 的 gas 为 $300，c = 30/52902.654：

最大值 2.13351 出现在 n=7 时。

apr = 1.56 ，claim + transfer 的 gas 为 $300，c = 30/52902.654：

最大值 4.085451 出现在 n=14 时。

近似计算

  • gas 固定时，最大值时 n 正比于 apr；
  • apr 固定时，gas 提升 10倍，最大值时 n 降低 3 倍；
  • 最大值仍然可以使用 eapr 近似计算，毕竟熊市 + 小本买卖，点一次鼠标 $150 这个确实是有点点不起。

求解

(1+1/x)x 对 x 求导：

(1 + apr/x - c)^x 对 x 求导，令 b = 1 - c， a=apr， 转化为 (b + a/x)^x 对 x 求导：

整理后：

  1. 函数极大时，上式等于 0；
  2. 公约项 为指数函数，不可能为 0；
  3. 因为分母是 bx+a 所以 bx+a != 0；

问题转换为求解：

整理后：

再两边除x，这样看起来已经很整洁了：

如果你想更整洁，令 则有：

或者写成：

此刻我们来回顾一下各个变量的含义：

1
2
3
4
5

a: APR 的小数表示，比如 APR 为 84%，则 a = 0.84
gas: 比如本金为 $52902.654，复投消耗的 eth gas 为 $3，则 gas = 3/52902.654
b: 1 - gas
x: 每年复投次数的最优解
t: a/x + b

稍做变换有：

所以最终的计算公式为：

验证

本金 $52902.654，每次 gas $3：

本金 $52902.654，每次 gas $30：

本金 $52902.654，每次 gas $300：

验证通过。

结论

为了 stake 的时候让资金膨胀最快，你最好先用这两个公式，求完 t 再求 x：

如果记不住，收藏这个链接也可以。

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